Operação de desconto

Duas letras vencíveis, respectivamente,em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente
a uma taxa simples de 2%a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $ 300. Calcular o
valor total liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa operação se realizasse 30
dias mais tarde, a soma dos valores dos descontos teria sido de $ 180.

R: $6.170,27.

jose a. ferreira escreveu:Duas letras vencíveis, respectivamente,em 90 e 45 dias foram descontadas racionalmente
a uma taxa simples de 2%a.m., e a soma dos valores dos descontos foi de $ 300. Calcular o
valor total liberado pelas duas letras, sabendo-se que, se essa operação se realizasse 30
dias mais tarde, a soma dos valores dos descontos teria sido de $ 180.

R: $6.170,27.

Olá.

N1 = valor nominal da primeira letra
N2 = valor nominal da segunda letra
n1 = 90 dias = 3 meses = prazo de vencimento da primeira letra
n2 = 45 dias = 1,5 mês = prazo de vencimento da segunda letra
n3 = (90 - 30) dias = 60 dias = 2 meses = prazo hipótetico de vencimento da primeira letra
n4 = (45-30) dias = 15 dias = 0,5 mês = prazo hipótético de vencimento da segunda letra
i = 2% a.m.
D1 + D2 = 300---->(1)
D3 + D4 = 180---->(2)
V1 + V2 = ?


V1 = N1/(1+i*n1)---->V1 = N1/(1+0,02*3)---->V1 = N1/1,06---->(3)
V2 = N2/(1 +i*n2)---->V2 = N2/(1 + 0,02*1,5)---->V2 = N2/1,03---->(4)
V3 = N1/(1 + i*n3)---->V3 = N1/(1 + 0,02*2)---->V3 = N1/1,04---->(5)
V4 = N2/(1 + i*n4)---->V4 = N2/(1 + 0,02*0,5)---->V4 = N2/1,01---->(6)

D1 + D2 = 300---->(N1 - V1)+(N2 - V2) = 300---->(N1 - N1/1,06)+ (N2 - N2/1,03) = 300
---->
(1,06N1-N1)/1,06 + (1,03N2-N2)/1,03 = 300
---->
0,06N1/1,06 + 0,03N2/1,03 = 300
---->
0,06N1*1,03 + 0,03N2*1,06 = 300*1,06*1,03
---->
0,0618N1 + 0,0318N2 = 327,54---->(7)--->N1 = (327,54 - 0,0318N2)/0,0618---->(7)

D3 + D4 = 180---->(N1 - V3) + (N2 - V4) = 180---->(N1 - N1/1,04) + (N2 - N2/1,01) = 180
---->
(1,04N1 - N1)/1,04 + (1,01N2 - N2)/1,01 = 180---->0,04N1/1,04 + 0,01N2/1,01 = 180
---->
1,01*0,04N1 + 1,04*0,01N2 = 180*1,04*1,01
---->
0,0404N1 + 0,0104N2 = 189,072---->N1 = (189,072 - 0,0104N2)/0,0404---->(8)

Comparando (7) e (8):

(327,54 - 0,0318N2)/0,0618 = (189,072 - 0,0104N2)/0,0404
---->
(327,54 - 0,0318N2)*0,0404 = (189,072 - 0,0104N2)*0,0618
---->
13,232616 - 0,00128472N2 =11,6846496 - 0,00064272N2
---->
0,00064272N2 - 0,00128472N2 = 11,6846496 - 13,232616
---->
-0,000642N2 = -1,5479664
---->
N2 = (-1,5479664/(-0,000642)
---->
N2 = 2411,16

V2 = N2/1,03---->(4)
---->
V2 = 2411,16/1,03---->(4)
---->
V2 =2340,93

N1 = (327,54 - 0,0318N2)/0,0618---->(7)
---->
N1 = (327,54 - 0,0318*2411,162617)/0,0618---->(7)
---->
N1 = 4059,30

V1 = N1/1,06---->(3)
---->
V1 = 4059,30/1,06---->(3)
---->
V1 = 3829,52



V1 + V2 = 3829,52 + 2340,93
---->
V1 + V2 = 6.170,45---->resposta


Um abraço.